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如图①，在矩形 ABCD中，AB=30cm，BC=60cm．点P从点A出发，沿A→B→C→D路线向点D匀速运动，到达点D后停止；点Q从点D出发，沿 D→C→B→A路线向点A匀速运动，到达点A后停止．若点P、Q同时出发，在运动过程中，Q点停留了1s，图②是P、Q两点在折线AB-BC-CD上相距的路程S（cm）与时间t（s）之间的函数关系图象．
（1）请解释图中点H的实际意义？
（2）求P、Q两点的运动速度；
（3）将图②补充完整；
（4）当时间t为何值时，△PCQ为等腰三角形？请直接写出t的值．

解：（1）图中点H的实际意义：P、Q两点相遇；

（2）由函数图象得出，当两点在F点到G点两点路程随时间变化减慢得出此时Q点停留1秒，只有P点运动，此时纵坐标的值由75下降到45，
故P点运动速度为：30cm/s，再根据E点到F点S的值由120变为75，根据P点速度，得出Q点速度为120-75-30=15（cm/s），
即P点速度为30cm/s，Q点速度为 15cm/s；

（3）如图所示：根据4秒后，P点到达D点，只有Q点运动，根据运动速度为15cm/s，
还需要运动120-45=75（cm），则运动时间为：75÷15=5（s），画出图象即可；

（4）如图1所示，
当QP=PC，此时 $\text{[math]}$ QC=BP，即30-30t= $\text{[math]}$ （30-15t），

解得：t= $\text{[math]}$ ，
故当时间t= $\text{[math]}$ s时，△PCQ为等腰三角形，
如图2所示，
当D，P重合，QD=QC时，
Q为AB中点，则运动时间为：（15+60+30）÷15+1=8（s），
故当时间t=8s时，△PCQ为等腰三角形．
若PC=CQ
故90-30t=30-15t
解得：t=4
则4+1=5（S）
综上所述：t= $\text{[math]}$ 或t=5或t=8秒时，△PCQ为等腰三角形．
分析：（1）根据P、Q两点在折线AB-BC-CD上相距的路程S（cm）与时间t（s）之间的函数关系图象得出H点时两点相遇；
（2）利用函数图象得出当两点在F点到G点两点路程随时间变化减慢得出此时Q点停留，只有P点运动，再利用纵坐标的值得出P点和Q点运动速度；
（3）根据4秒后，P点到达D点，只有Q点运动，根据运动速度为15cm/s，还需要运动120-45=75（cm），则运动时间为：75÷15=5（s），进而画出图象即可；
（4）根据Q，P的位置不同，进行分类讨论得出答案即可．
点评：此题主要考查了动点问题的函数图象，主要运用分类讨论的思想，函数的知识和等腰三角形的知识，具有很强的综合性．

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如图1，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P从A点出发，沿A→B→C→D路线运动，到D点停止；点Q从D点出发，沿D→C→B→A运动，到A点停止．若点P、点Q同时出发，点P的速度为每秒1cm，点Q的速度为每秒2cm，a秒时点P、点Q同时改变速度，点P的速度变为每秒b（cm），点Q的速度变为每秒c（cm）．如图2是点P出发x秒后△APD的面积S₁（cm²）与x（秒）的函数关系图象；图3是点Q出发x秒后△AQD的面积S₂（cm²）与x（秒）的函数关系图象．根据图象：
（1）求a、b、c的值；
（2）设点P离开点A的路程为y₁（cm），点Q到点A还需要走的路程为y₂（cm），请分别写出改变速度后y₁、y₂与出发后的运动时间x（秒）的函数关系式，并求出P与Q相遇时x的值．

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已知在△ABC中，AB=AC=6，且△ABC的面积是12．
（1）①在图1中，求BD的长．②在图2中，P是BC的中点，求PM+PN．
（2）图3中，对于BC边上任意一点P，请对点P到两腰距离和（PM+PN）与腰上高（CQ）的大小关系提出猜想，并加以证明．
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（1）当PQ∥AD时，x的值等于

；
（2）如图2，线段PQ的垂直平分线EF与BC边相交于点E，连接EP、EQ，设BE=y，求y关于x的函数关系式；
（3）在问题（2）中，设△EPQ的面积为S，求S关于x的函数关系式，并求当x取何值时，S的值最小，最小值是多少？

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（2013•浙江一模）阅读并解答下列问题：

问题一．如图1，在?ABCD中，AD=20，AB=30，∠A=60°，点P是线段AD上的动点，连PB，当AP=

时，PB最小值为

．
问题二．如图2，四边形ABCD是边长为20的菱形，且∠DAB=60°，P是线段AC上的动点，E在AB上，且AE=

AB，连PE，PB，问当AP长为多少时，PE+PB的值最小，并求这个最小值．
问题三．如图3，在矩形ABCD中，AB=20，CB=10，P，Q分别是线段AC，AB上的动点，问当AP长为多少时，PQ+PB的值最小，并求这个最小值．

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（1）若点E平分线段PF，则此时AQ的长为多少？
（2）若线段CE与线段QF所在的平行直线之间的距离为2，则此时AP的长为多少？
（3）在“线段CE”、“线段QF”、“点A”这三者中，是否存在两个在同一条直线上的情况？若存在，求出此时AP的长；若不存在，请说明理由．

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