Question

12．抛物线与x轴交于A，B两点，（点B在点A的左侧）且A，B两点的坐标分别为（-2，0）、（8，0），与y轴交于点C（0，-4），连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线L交抛物线于点Q，交BD于点M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在线段OB上运动时，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形？
（3）位于第四象限内的抛物线上是否存在点N，使得△BCN的面积最大？若存在，求出N点的坐标，及△BCN面积的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法直接求出抛物线解析式；
（2）由菱形的对称性可知，点D的坐标，根据待定系数法可求直线BD的解析式，根据平行四边形的性质可得关于m的方程，求得m的值；再根据平行四边形的判定可得四边形CQMD的形状；
（3）先判断出点N在平行于BC且与抛物线只有一个交点时的位置，确定出点N的坐标，用面积和差求出三角形BCN的面积．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
根据题意得，$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+c=0}\\{64a+8b+c=0}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=-\frac{3}{2}}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4，
（2）（2）∵C（0，-4）
∴由菱形的对称性可知，点D的坐标为（0，4）．
设直线BD的解析式为y=kx+b'，则$\left\{\begin{array}{l}{b'=4}\\{8k+b'=0}\end{array}\right.$，
解得k=-$\frac{1}{2}$，b'=4．
∴直线BD的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+4．
∵l⊥x轴，
∴点M的坐标为（m，-$\frac{1}{2}$m+4），点Q的坐标为（m，$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4）．
如图，当MQ=DC时，四边形CQMD是平行四边形，
∴（-$\frac{1}{2}$m+4）-（ $\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4）=4-（-4）．
化简得：m²-4m=0，
解得m₁=0（不合题意舍去），m₂=4．
∴当m=4时，四边形CQMD是平行四边形；
（3）存在，
理由：当过点N平行于直线BC的直线与抛物线只有一个交点时，△BCN的面积最大
∵B（8，0），C（0，-4），
∴BC=4$\sqrt{5}$
直线BC解析式为y=$\frac{1}{2}$x-4，
设过点N平行于直线BC的直线L解析是为y=$\frac{1}{2}$x+n①，
∵抛物线解析式为y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4②，
联立①②得，x²-8x-4（n+4）=0，③
∴△=64+16（n+4）=0，
∴n=-8，
∴直线L解析式为y=$\frac{1}{2}$x-8，
将n=-8代入③中得，x²-8x+16=0
∴x=4，∴y=-6，
∴N（4，-6），
如图，

过点N作NG⊥AB，
∴S_△BCN=S_{四边形OCNG}+S_△MNG-S_△OBC
=$\frac{1}{2}$（4+6）×4+$\frac{1}{2}$（8-4）×6-$\frac{1}{2}$×8×6
=16．

点评 此题是二次函数综合性，涉及的知识点有：坐标轴上点的特点，菱形的对称性，待定系数法求直线的解析式，平行四边形的判定和性质，几何图形面积的计算方法，方程思想和分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．