Question

如图，已知等腰Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC边上一动点，BC=nDC，AD⊥EC于点E，延长BE交AC与点F．
（1）若n=3，则=______，=______；
（2）若n=2，求证：AF=2FC；
（3）当n=______，F为AC的中点（直接填出结果，不要求证明）．

Answer 1

（1）由题意得，∠DEC=∠DCA=90°，∠EDC=∠CDA，
∴△CED∽△ACD．
∴CE：DE=AC：CD．
∵AC=BC，
∴AC：CD=n=3．
∴CE：DE=3．
同理可得：AE：DE=9．

（2）如图，当n=2时，D为BC的中点，取BF的中点G，连接DG，
则DG=FC，DG∥FC．
∵CE⊥AD，∠ACB=90°，
∴∠ECD+∠EDG=∠CAD+∠ADC=90°．
∴∠ECD=∠CAD．
∵tan∠ECD=，tan∠CAD==，
∴==．
∵AC=BC，BC=2DC，
∴===．
∴=．
∵DG∥FA，
∴△GDE∽△FAE．
∴=．
∴DG=AF．
∵DG=FC，
∴AF=2FC．

（3）如图，∵BC=nDC，
∴DC：BC=1：n，
∴DC：AC=1：n，
∴DE：CE：AE=1：n：n²；
∴DG：AF=1：n²；
又∵DG：CF=DB：BC=（BC-CD）：BC=（n-1）：n
要使AF=CF，必需n²=n：（n-1），（n＞0）
∴当n=，F为AC的中点．
分析：（1）通过证明△CED∽△ACD，根据相似比即可求得CE：DE的长，同理可求得AE：DE的值．
（2）根据已知可求得△GED∽△AFE，根据相似比即可求得AF，FC的关系．
（3）要使AF=CF，必需n²=（n-1）：n．
点评：本题的关键是根据相似三角形得出线段之间的比例关系，进而得出所求线段与n之间的关系．