Question

如图，等腰梯形ABCD中，AB=15，AD=20，∠C=30°，点M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在AB、AD（包括端点）上运动。

（1）设ND的长为x，用x表示出点N到AB的距离，并写出x的取值范围。
（2）当五边形BCDNM面积最小时，请判断△AMN的形状。

Answer 1

解：（1）过点N作BA的垂线NP，交BA的延长线于点P 由已知，AM=x，AN=20-x ∵四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠D=∠C=30°， ∴∠PAN=∠D=30°， 在Rt△APN中，PN=ANsin∠PAN=（20-x）， 即点N到AB的距离为（20-x） ∵点N在AD上，0≤x≤20，点M在AB上，0≤x≤15， ∴x的取值范围是：0≤x≤15。
（2）根据（1），S△AMN=AM·NP=x（20-x）= ∵＜0， ∴当x=10时，S△AMN有最大值 又∵S五边形BCDNM=S梯形-S△AMN，且S梯形为定值 ∴当x=10时，S五边形BCDNM有最小值 当x=10时，即ND=AM=10，AN=AD-ND=10，即AM=AN 则当五边形BCDNM面积最小时，△AMN为等腰三角形。