Question

如图，在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，动点E（与点A，C不重合）在AC边上，EF∥AB交BC于F点。

（1）当△ECF的面积与四边形EABF的面积相等时，求CE的长；
（2）当△ECF的周长与四边形EABF的周长相等时，求CE的长；
（3）试问在AB上是否存在点P，使得△EFP为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出EF的长。

Answer 1

解：（1）∵△ECF的面积与四边形EABF的面积相等 ∴S△ECF：S△ACB=1：2 又∵EF∥AB　　 ∴△ECF∽△ACB ∴且AC=4 ∴CE=。 （2）设CE的长为x ∵△ECF∽△ACB ∴ ∴CF= 由△ECF的周长与四边形EABF的周长相等，得 解得 ∴CE的长为。
（3）△EFP为等腰直角三角形，有两种情况： ①如图1，假设∠PEF=90°，EP=EF。 由AB=5，BC=3，AC=4，得∠C=90° ∴Rt△ACB斜边AB上高CD= 设EP=EF=x，由△ECF∽△ACB，得 ，即 解得，即EF= 当∠EFP′=90°，EF=FP′时，同理可得EF=。
②如图2，假设∠EPF=90°，PE=PF时，点P到EF的距离为 设EF=x，由△ECF∽△ACB，得 ，即 解得，即EF= 综上所述，在AB上存在点P，使△EFP为等腰直角三角形 此时EF=或EF=。