Question

如图，在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，CE与BA的延长线相交于F点．连接DF．
（1）求证：四边形ACDF是平行四边形．
（2）若ACDF是矩形，试探求∠1与∠2之间的关系．

Answer 1

（1）证明：∵平行四边形ABCD中，E是AD的中点，
∴AE=ED，BF∥CD，
∴∠FAE=∠CDE，∠AEF=∠DEC（对顶角），
∴△AEF≌△DCE，
∴AF=CD，
又BF∥CD，
即AF∥CD，
∴四边形ACDF是平行四边形；

（2）解：∠1=2∠2；
∵根据矩形的性质得AE=CE，
∴∠EAC=∠ECA，
又由平行四边形ABCD得∠EAC=∠2，
∴∠EAC=∠ECA=∠2，
∴∠1=∠EAC+∠ECA=∠2+∠2=2∠2．
分析：（1）由已知平行四边形ABCD中，E是AD的中点，可得AE=ED，BF∥CD，则∠FAE=∠CDE，∠AEF=∠DEC（对顶角），所以AF=CD，再利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证得其为平行四边形；
（2）根据矩形的性质得AE=CE，则∠EAC=∠ECA，又由平行四边形ABCD得∠EAC=∠2，所以∠EAC=∠ECA=∠2，从而得∠1=∠EAC+∠ECA=∠2+∠2=2∠2．
点评：此题考查的是平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及矩形性质的综合运用．