Question

如图，△ABC中，∠C=90°．
（1）以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形（如图①），探究S₁+S₂与S₃的关系；
（2）以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形（如图②），探究S₁+S₂与S₃的关系；
（3）以直角三角形的三边为直径向形外作半圆（如图③），探究S₁+S₂与S₃的关系．

Answer 1

解：（1）由等边三角形的性质可得：S₁=AC²，S₂=BC²，S₃=AB²，
则S₁+S₂=（AC²+BC²），
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴AC²+BC²=AB²，
∴S₁+S₂=S₃．

（2）由等腰直角三角形的性质可得：S₁=AC²，S₂=BC²，S₃=AB²，
则S₁+S₂=（AC²+BC²），
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴AC²+BC²=AB²，
∴S₁+S₂=S₃．

（3）由圆的面积计算公式知：S₁=πAC²，S₂=πBC²，S₃=πAB²，
则S₁+S₂=π（a²+b²），
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴AC²+BC²=AB²，
∴S₁+S₂=S₃．
分析：这三道题主要在勾股定理的基础上结合具体图形的面积公式，运用等式的性质即可得到相同的结论．
点评：本题考查了勾股定理、等边三角形的性质及等腰直角三角形的性质，关键是熟悉各种图形的面积公式，结合勾股定理，运用等式的性质进行变形．