Question

已知：如图，抛物线y=ax²+bx+c的顶点C在以D（-2，-2）为圆心，4为半径的圆上，且经过⊙D与x轴的两个交点A、B，连接AC、BC、OC。

（1）求点C的坐标；
（2）求图中阴影部分的面积；
（3）在抛物线上是否存在点P，使DP所在直线平分线段OC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）如图，作CH⊥x轴，垂足为H， ∵直线CH为抛物线对称轴， ∴CH垂直平分AB， ∴CH必经过圆心D（-2，-2） ∵DC=4， ∴CH=6 ∴C点的坐标为（-2，-6）。 （2）连接AD 在Rt△ADH中，AD=4，DH=2， ∴∠HAD=30°， ∴ ∴ ∴阴影部分的面积。 （3）又∵ H点坐标为（-2，0），H为AB的中点， ∴A点坐标为（-2-2，0），B点坐标为（2-2，0） 又∵抛物线顶点C的坐标为（-2，-6）， 设抛物线解析式为y=a（x+2）2-6 ∵B（，0）在抛物线上 ∴，解得 ∴抛物线的解析式为 设OC的中点为E，过E作EF⊥x轴，垂足为F，连接DE， ∵CH⊥x轴，EF⊥x轴， ∴CH∥EF ∵E为OC的中点， ∴ 即点E的坐标为（-1，-3）。 设直线DE的解析式为 ∴，解得 ∴直线DE的解析式为y=-x-4 若存在P点满足已知条件，则P点必在直线DE和抛物线上 设点P的坐标为（m，n）， ∴n=-m-4，即点P坐标为（m，-m-4）， ∴ 解这个方程，得， ∴点P的坐标为（0，-4）和（-6，2）。 故在抛物线上存在点P，使DP所在直线平分线段OC。