Question

如图1，在△ABO中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8，以OB为一边，在△OAB外作等边三角形OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E。
（1）求点B的坐标；
（2）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（3）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长。

Answer 1

解：（1）在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8，
∴OA=OB·cos30°=8×，
AB=OB·sin30°=8×=4，
∴点B的坐标为（4，4）；
（2）证明：∵∠OAB=90°，
∴AB⊥x轴，
∵y轴⊥x轴，
∴AB∥y轴，即AB∥CE，
∵∠AOB=30°，
∴∠OBA=60°，
∵D是OB的中点，
∴DA=DB，
即∠DAB=∠DBA=60°，
∴∠ADB=60°，
∵△OBC是等边三角形，
∴∠OBC=60°，
∴∠ADB=∠OBC，即AD∥BC，
∴四边形ABCE是平行四边形；
（3）设OG的长为x，
∵OC=OB=8，
∴CG=8-x，
由折叠的性质可得：AG=CG=8-x，
在Rt△AOG中，AG²=OG²+OA²，
即（8-x）²=x²+（4）²，
解得：x=1，即OG=1。