Question

如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，△ABO是直角三角形，∠ABO=90°，OA=5，OB=2，将△ABO绕原点O顺时针旋转90°得△A₁B₁O，连接BB₁交x轴于点C．
（1）分别求出点A₁、B、B₁的坐标；
（2）若抛物线y=3x²+bx+c经过A₁，C两点，求此抛物线的解析式；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△PA₁C与△BOC相似（其中P的对应点为B）？若存在，请你求出P点的坐标，并说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意A（0，5）△ABO绕原点O顺时针旋转90°后得到的A₁点坐标为（5，0），
在Rt△AOB中，AB==，
过B作BD⊥x轴于D点，
△ABO∽△ODB
∴
OB=
∴OD=2，BD=4，
∴B（2，4）
△ABO绕原点O顺时针旋转90°后得到的B₁点坐标为（4，-2）；
（2）由连接BB₁交x轴于点C，可得C点坐标为（，0）．
因抛物线y=3x²+bx+c经过A₁，C两点，
则此抛物线的解析式为；
（3）在x轴下方的抛物线上存在点P，使得△PA₁C与△BOC相似．
理由如下：∵△B₁A₁C∽△BOC可证，
而B₁（4，-2）在抛物线上，
∴P点即B₁点；
又由抛物线的对称性可知，点（4，-2）也满足条件．
分析：（1）由A点坐标可求出A₁点坐标，先求出B点坐标进而便可求出B₁点坐标；
（2）先求出C点坐标，再将A₁、C两点坐标代y=3x²+bx+c入即可解得此抛物线的解析式；
（3）根据三角形相似的性质求出相应的P点坐标，再根据抛物线的相似性便可求出另一个满足条件的P点坐标，注意不要漏解．
点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的公式的求法和旋转的性质及三角形的相似等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合和分类讨论等数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．