Question

已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．

（1）求证：EG=CG；

（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 　　

（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）

Answer 1

解：（1）证明：在Rt△FCD中，

∵G为DF的中点，∴ CG=FD．

同理，在Rt△DEF中，   

EG=FD．  

∴ CG=EG．

（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG．

证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．

在△DAG与△DCG中，

∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，

∴ △DAG≌△DCG．

∴ AG=CG．

在△DMG与△FNG中，

∵ ∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，

∴ △DMG≌△FNG．

∴ MG=NG

  在矩形AENM中，AM=EN．

在Rt△AMG 与Rt△ENG中，

∵ AM=EN， MG=NG，

∴ △AMG≌△ENG．

∴ AG=EG．

∴ EG=CG． 

证法二：延长CG至M,使MG=CG，

连接MF，ME，EC，

在△DCG 与△FMG中，

∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，

∴△DCG ≌△FMG．

∴MF=CD，∠FMG＝∠DCG．  

∴MF∥CD∥AB．

∴．

在Rt△MFE 与Rt△CBE中，

∵ MF=CB，EF=BE，

∴△MFE ≌△CBE．

∴．

∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°．

∴ △MEC为直角三角形．

∵ MG = CG，

∴ EG=MC．

∴ ．

（3）（1）中的结论仍然成立，

即EG=CG．其他的结论还有:EG⊥CG．