Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）交x轴于点A（-1，0）、B（3，0），交y轴于点C．
（1）求抛物线的顶点M的坐标；（用a的代数式表示）
（2）直线y=x+d经过C、M两点，并且与x轴交于点D．
①求抛物线的函数表达式；
②若四边形CDAN是平行四边形，且点N在抛物线上，则点N的坐标为（______，______）；
③设点P是抛物线对称轴上一动点，请探索：是否存在这样的点P，使以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由于抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）经过A（-1，0）、B（3，0），则有：
，
解得；
∴y=ax²-2ax-3a=a（x-1）²-4a；
∴M（1，-4a）；

（2）①由（1）知：C（0，-3a）；
∴直线y=x+d中，d=-3a，即y=x-3a；
∵直线y=x-3a经过M（1，-4a），
则有：1-3a=-4a，a=-1；
∴抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3；
②由①的抛物线知：C（0，3），M（1，4），对称轴为x=1；
若四边形CDAN是平行四边形，则CN∥x轴，
∴C、N关于抛物线的对称轴对称，
即N（2，3）；
③存在符合条件的P点，且P（1，2-4）
易知A（-1，0），B（3，0），M（1，4）；
由①可得直线CM的解析式为y=x+3，则D（-3，0）；
设抛物线的对称轴x=1与x轴的交点为Q，⊙P与直线CD的切点为E，连接PE、PA；
根据圆和抛物线的对称性知，圆心P必在抛物线的对称轴上，可设PE=PA=m；
∵在Rt△DMQ中，DQ=MQ=4，
∴△MDQ是等腰Rt△，∠DMQ=45°；
在Rt△PME中，PE=m，∠EMP=∠DMQ=45°，则PM=m；
在Rt△PAQ中，PA=m，AQ=AB=2，则PQ=；
由于MQ=MP+PQ=4，即：m+=4，
解得m=4-2；
∴m=8-2，4-m=2-4；
即P（1，2-4）．
分析：（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可得到a、b以及a、c的关系式，进而可用配方法求出顶点M的坐标；
（2）①根据抛物线的解析式，可表示出C点的坐标，将C、D的坐标代入直线CM的解析式中即可求出a的值，进而可确定抛物线的解析式；
②若四边形CDAN是平行四边形，则CN∥x轴，即C、N关于抛物线的对称轴对称，由此可求出N点的坐标；
③设抛物线的对称轴与x轴的交点为Q；假设存在符合条件的P点，且⊙P与直线DM的切点为E，连接PE；若⊙P同时经过A、B两点，根据圆和抛物线的对称性知圆心P必在抛物线的对称轴上；可设出⊙P的半径，易证得△DMQ是等腰直角三角形，则∠EMQ=45°，可据此表示出PM的长；在Rt△APQ中，根据勾股定理可表示出PQ的长，由于PQ+PM=MQ，可根据这个等量关系列出关于⊙P半径的方程，进而可求出P点的坐标．
点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、平行四边形的判定和性质、抛物线和圆的对称性、直线与圆的位置关系以及解直角三角形的应用等知识，能力要求较高，难度较大．