Question

如图所示，AB是⊙O的直径，AB=4，D是⊙O上的一点，∠ABD=30°，OF∥AD交BD于点E，交⊙O于点F．
（1）求DE的长度；
（2）求阴影部分的面积（结果保留π）．

Answer 1

解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）；
又∠ABD=30°，AB=4，
∴BD=AB•cos∠ABD=4×=2；
∵OF∥AD，点O是AB的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴点E是线段BD的中点，
∴DE=BD=；

（2）由（1）知，∠ADB=90°．
∵∠ABD=30°，
∴∠DAB=60°（三角形内角和定理）；
又∵OF∥AD，
∴∠EOB=∠DAB=60°（两直线平行，同位角相等）；
∵OB=AB=2，
∴S_扇形OBF==π；
由（1）知，DE=BD，
∴BE=BD=，
∴S_△OBE=OB•BEsin∠EBO=×2××=，
∴S_阴影=S_扇形OBF-S_△OBE=π-．
分析：（1）利用圆周角定理、余弦三角函数的定义求得BD=2；然后由三角形中位线的定义证得点E是线段BD的中点，即DE=BD=；
（2）阴影部分的面积=扇形OFB的面积-△OBE的面积．
点评：本题综合考查了圆周角定理、勾股定理、三角形中位线定理等知识点．解答该题也可以根据平行线的性质、垂径定理解题．