Question

13．如图，已知抛物线y=ax²-x+c的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为A（-1，0），顶点为B．点C（5，m）在抛物线上，直线BC交x轴于点E．
（1）求抛物线的表达式及点E的坐标；
（2）联结AB，求∠B的正切值；
（3）点G为线段AC上一点，过点G作CB的垂线交x轴于点M（位于点E右侧），当△CGM与△ABE相似时，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）由对称轴可求得a的值，再把A点坐标代入可求得c的值，则可求得抛物线表达式，则可求得B、C的坐标，由待定系数法可求得直线BC的解析式，可求得E点坐标；
（2）由A、B、C三点的坐标可求得AB、AC和BC的长，可判定△ABC是以BC为斜边的直角三角形，利用三角形的定义可求得答案；
（3）设M（x，0），当∠GCM=∠BAE时，可知△AMC为等腰直角三角形，可求得M点的坐标；当∠CMG=∠BAE时，可证得△MEC∽△MCA，利用相似三角形的性质可求得x的值，可求得M点的坐标．

解答 解：
（1）∵抛物线对称轴为x=1，
∴-$\frac{-1}{2a}$=1，解得a=$\frac{1}{2}$，
把A点坐标代入可得$\frac{1}{2}$+1+c=0，解得c=-$\frac{3}{2}$，
∴抛物线表达式为y=$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$，
∵y=$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$（x-1）²-2，
∴B（1，-2），
把C（5，m）代入抛物线解析式可得m=$\frac{25}{2}$-5-$\frac{3}{2}$=6，
∴C（5，6），
设直线BC解析式为y=kx+b，
把B、C坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{k+b=-2}\\{5k+b=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴直线BC解析式为y=2x-4，
令y=2可得2x-4=0，解得x=2，
∴E（2，0）；

（2）∵A（-1，0），B（1，-2），C（5，6），
∴AB=2$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{（5+1）^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{（5-1）^{2}+（6+2）^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴AB²+AC²=8+72=80=BC²，
∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形，
∴tan∠B=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{6\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$=3；

（3）∵A（-1，0），B（1，-2），
∴∠CAE=∠BAE=45°，
∵GM⊥BC，
∴∠CGM+∠GCB=∠GCB+∠ABC=90°，
∴∠CGM=∠ABC，
∴当△CGM与△ABE相似时有两种情况，
设M（x，0），则C（x，2x-4），
①当∠GCM=∠BAE=45°时，则∠AMC=90°，
∴MC=AM，即2x-4=x+1，解得x=5，
∴M（5，0）；
②当∠GMC=∠BAE=∠MAC=45°时，
∵∠MEC=∠AEB=∠MCG，
∴△MEC∽△MCA，
∴$\frac{ME}{MC}$=$\frac{MC}{MA}$，即$\frac{x-2}{MC}$=$\frac{MC}{x+1}$，
∴MC²=（x-2）（x+1），
∵C（5，6），
∴MC²=（x-5）²+6²=x²-10x+61，
∴（x-2）（x+1）=x²-10x+61，解得x=7，
∴M（7，0）；
综上可知M点的坐标为（5，0）或（7，0）．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、勾股定理及其逆定理、三角函数的定义、相似三角形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意利用对称轴求得a的值是解题的关键，在（2）中证得△ABC为直角三角形是解题的关键，在（3）中利用相似三角形的性质得到关于M点坐标的方程是解题的关键，注意分两种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．