Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC= 4，点M是AD的中点，△MBC是等边三角形。
（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；
（2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ=60° 保持不变。设PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式；
（3）在（2）中：①当动点P、Q运动到何处时，以点P、M和点A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数；②当y取最小值时，判断△PQC的形状，并说明理由。

Answer 1

解：（1）∵是等边三角形 ∴ ∵是中点 ∴  ∵ ∴ ∴  ∴  ∴梯形是等腰梯形 （2）在等边中，   ∴ ∴  ∴  ∴  ∵  ∴   ∴  ∴ （3）①当时，则有  则四边形和四边形均为平行四边形 ∴ 当时，则有 则四边形和四边形均为平行四边形∴ ∴当或时，  以P、M和A、B、C、 D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形  此时平行四边形有4个  ②为直角三角形  ∵  ∴当y取最小值时， ∴P是BC的中点，而 ∴  ∴