Question

如图所示．矩形ABCD中，CE⊥BD于E，AF平分∠BAD交EC延长线于F．求证：CA=CF．

Answer 1

证明：延长DC交AF于H，显然∠FCH=∠DCE．
又在Rt△BCD中，由于CE⊥BD，故∠DCE=∠DBC．
因为矩形对角线相等，
所以△DCB≌△CDA，从而∠DBC=∠CAD，
因此∠FCH=∠CAD．①
又AG平分∠BAD=90°，
所以△ABG是等腰直角三角形，
从而易证△HCG也是等腰直角三角形，
所以∠CHG=45°．
由于∠CHG是△CHF的外角，
所以∠CHG=∠CFH+∠FCH=45°，
所以∠CFH=45°-∠FCH．②
由①，②∠CFH=45°-∠CAD=∠CAF，
于是在三角形CAF中，有CA=CF．
分析：只要证明△CAF是等腰三角形，即∠CAF=∠CFA即可．由于∠CAF=45°-∠CAD，所以，在添加辅助线时，应设法产生一个与∠CAD相等的角a，使得∠CFA=45°-a．为此，延长DC交AF于H，并设AF与BC交于G，我们不难证明∠FCH=∠CAD．
点评：本题考查了矩形各内角为直角、对边相等的性质，考查了等腰三角形的判定，考查了全等三角形的证明和对应角相等的性质，本题中构建与∠CAD相等的角a是解题的关键．