Question

已知关于x的一元二次方程x²-（k+1）x+2k-2=0．
（1）求证：无论k为何值时，该方程总有实数根；
（2）若两个实数根平方和等于5，求k的值．

Answer 1

（1）证明：△=（k+1）²-4（2k-2）
=k²-6k+9
=（k-3）²，
∵（k-3）²≥0，即△≥0，
∴无论k为何值时，该方程总有实数根；
（2）解：设方程两根为x₁，x₂，
则x₁+x₂=k+1，x₁•x₂=2k-2，
∵x₁²+x₂²=5，
∴（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=5，
∴（k+1）²-2（2k-2）=5，
∴k₁=0，k₂=2．
分析：（1）先计算△得到△=（k+1）²-4（2k-2）=k²-6k+9=（k-3）²，由于（k-3）²≥0，即△≥0，根据△的意义即可得到结论；
（2）设方程两根为x₁，x₂，根据根与系数的关系得到x₁+x₂=k+1，x₁•x₂=2k-2，由x₁²+x₂²=5变形得（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=5，即可得到关于k的方程（k+1）²-2（2k-2）=5，然后解此方程即可．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=-，x₁•x₂=．也考查了一元二次方程根的判别式．