Question

如图，在平角直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）与反比例函数（m≠0）的图象分别交于一、三象限的A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，线段OC=2，A点坐标为（n，3），且cos∠ACO=．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．

Answer 1

解：（1）过点A作AE⊥x轴于点E，
∵A点坐标为（n，3），且cos∠ACO=，
∴AE=3，设CE=4x，则AC=5x，
在Rt△ACE中，AE²+EC²=AC²，
则3²+（4x）²=（5x）²，
解得：x=1，
故EC=4，AC=5，
∵CO=2，∴EO=2，
故A点坐标为（2，3），
设反比例函数解析式为：y=，将A（2，3）点代入得出：xy=a，即2×3=6=a，
故反比例函数解析式为：y=；
设一次函数的解析式为：y=kx+b，将A（2，3），C（-2，0）点坐标代入得：
，
解得：，
故一次函数的解析式为：y=x+，

（2）过点B作BF⊥x轴于点F，
将反比例函数和一次函数的解析式两函数联立得出：
，
解得：，，
故B点坐标为：（-4，-），
故BF=，
∵AE=3，CO=2，
∴△AOB的面积=S_△ACO+S_△BCO
=×AE×CO+×CO×BF
=×2×3+×2×
=．
分析：（1）过点A作AE⊥x轴于点E，由cos∠AOE=，OC=2，再根据勾股定理得到CE，即得到A点坐标（2，3），把A（2，3）代入y=，确定反比例函数的解析式；然后把A点和C点坐标代入y=kx+b（k≠0）即可得出两函数解析式．
（2）先联立两函数解析式得出B点坐标，然后根据三角形的面积公式计算△AOB的面积即可．
点评：本题考查了余弦的定义、勾股定理以及三角形面积公式和点的坐标的求法和点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式，得出A点坐标是解题关键．