Question

如图，DE是⊙O的直径，CE与⊙O相切，E为切点．连接CD交⊙O于点B，在EC上取一个点F，使EF=BF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若S_△AMC=S_△AMO+S_△OMC-S_△AOC，DE=9，求BF的长．

Answer 1

（1）证明：连接OF、OB，
∵CE与⊙O相切，
∴∠OEF=90°，
∵OB=OE=r，
∵BF=EF，OF=OF，
∴△OBF≌△OEF，
∴∠OBF=∠OEF=90°，
∴OB⊥BF，
∴BF是⊙O的切线；
（2）解：连接BE，
∵DE是⊙O直径，
∴∠DBE=90°，
∴∠EBF+∠FBC=90°，
∠BEF+∠C=90°，
∵EF=BF，
∴∠EBF=∠BEF，
∴∠FBC=∠C，
∴BF=FC=EF=CE，
在Rt△DEC中，cosC=，
设EC=4x，DC=5x，
∵DC²=EC²+DE²，
∴（5x）²=（4x）²+9²
解得x=3，
∴EC=12，
∴BF=6．
分析：（1）连接OF、OB，通过证明△OBF≌△OEF，得到∠OBF=∠OEF=90°，即OB⊥BF，所以BF是⊙O的切线；
（2）连接BE，设EC=4x，DC=5x，由勾股定理得DC²=EC²+DE²，所以求出x=3，所以EC=12，所以BF=6．
点评：本题考查了切线的性质和判定、全等三角形的跑的和性质、勾股定理的运用以及方程思想的运用，题目的综合性很强，难度中等，解题的关键是适当的添加辅助线．