Question

如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O的切线DC，P点为优弧上一动点（不与A．C重合）．
（1）求∠APC与∠ACD的度数；
（2）当点P移动到CB弧的中点时，求证：四边形OBPC是菱形．
（3）P点移动到什么位置时，△APC与△ABC全等，请说明理由．

Answer 1

解：（1）连接AC，如图所示：

∵AC=2，OA=OB=OC= AB=2，
∴AC=OA=OC，
∴△ACO为等边三角形，
∴∠AOC=∠ACO=∠OAC=60°，
∴∠APC= ∠AOC=30°，
又DC与圆O相切于点C，
∴OC⊥DC，
∴∠DCO=90°，
∴∠ACD=∠DCO﹣∠ACO=90°﹣60°=30°；
（2）连接PB，OP，
∵AB为直径，∠AOC=60°，
∴∠COB=120°，当点P移动到CB的中点时，∠COP=∠POB=60°，
∴△COP和△BOP都为等边三角形，
∴AC=CP=OA=OP，则四边形AOPC为菱形；
（3）当点P与B重合时，△ABC与△APC重合，显然△ABC≌△APC；
当点P继续运动到CP经过圆心时，△ABC≌△CPA，
理由为：
∵CP与AB都为圆O的直径，
∴∠CAP=∠ACB=90°，在Rt△ABC与Rt△CPA中，  ，
∴Rt△ABC≌Rt△CPA（HL）．