Question

已知关于x的方程（m-2）x²+2x+1=0   ①
（1）若方程①有实数根，求实数m的取值范围？
（2）若A（1，0）、B（2，0），方程①所对应的函数y=（m-2）x²+2x+1的图象与线段AB只有一个交点，求实数m的取值范围？

Answer 1

（1）若方程为一元一次方程，则m-2=0，即m=2，
若方程为一元二次方程，则m-2≠0，
∵关于x的方程（m-2）x²+2x+1=0有实数根，
又∵a=m-2，b=2，c=1，
∴b²-4ac=2²-4（m-2）≥0，
解得：m≤3，
∵m-2≠0，
∴m≠2，
∴m≤3且m≠2，
综上所述，m≤3；

（2）设方程①所对应的函数记为y=f（x）=（m-2）x²+2x+1，
①当m-2=0，即m=2时，y=f（x）=（m-2）x²+2x+1，
即为y=2x+1，
y=0，x=-

1

2

，即此时函数y=2x+1的图象与线段AB没有交点，
②当m-2≠0，即m≠2，函数为二次函数，依题意有，
a．若方程有两个不等的实根，
此时二次函数与x轴两个交点，根据函数y=（m-2）x²+2x+1的图象与线段AB只有一个交点，
得出x=1和2时对应y的值异号，
则f（1）•f（2）＜0，
∴（m+1）（4m-3）＜0  即-1＜m＜

3

4

，
当f（1）=0时，m=-1，
方程为3x²-2x-1=0，其根为x₁=1，x₂=-

1

3

，
当f（2）=0时，m=

3

4

，
方程为3x²-8x+4=0，其根为x₁=

8+ 110

6

x₂=

8- 110

6

，
∴-1≤m＜

3

4

，
b．若方程有两个相等的实根，
则△=4-4（m-2）=0，m=3，方程为x²+2x+1=0，其根为 x₁=x₂=-1，
此时二次函数与线段AB无交点，
综上所述，方程①所对应的函数的图象与线段AB只有一个交点的实数m的取值范围是：-1≤m＜

3

4

．