Question

如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，
BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE．
（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；
（2）求证：BG²﹣GE²=EA²．

Answer 1

证明：（1）∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90°，∠ABC=45°， ∴∠BCD=45°=∠ABC，∠A+∠DCA=90°，∠A+∠ABE=90°， ∴DB=DC，∠ABE=∠DCA， ∵在△DBH和△DCA中， ∴△DBH≌△DCA， ∴BH=AC； （2）连接CG， ∵F为BC的中点，DB=DC， ∴DF垂直平分BC， ∴BG=CG， ∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC， ∴∠AEB=∠CEB， ∵在△ABE和△CBE中， ∴△ABE≌△CBE，   ∴EC=EA， 在Rt△CGE中，由勾股定理得： BG2﹣GE2=EA2．