Question

如图③，抛物线y=ax²+bx+c交x轴于点A(-3，0)，点B(1.0)，交y轴于点E(0，-3). 点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行.直线y=-x+m过点C，交y轴于点D.    
 (1)求抛物线的函数表达式；  
  (2)点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G，求线段HG长度的最大值；   
 (3)在直线l上取点M，在抛物线上取点N，便以点A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标.

Answer 1

解：（1）设抛物线的函数表达式y=a（x-1）(x+3)，   
 ∵抛物线与y轴交于点E(0,-3),将该点坐标代人上式，得：a=1，
∴所求函数表达式y=(x-1)(x+3)，即 y=x²+ 2x- 3;
(2)∵点C是点A关于点B的对称点，点A(-3，0)，点B(1，0)，    
∴点C的坐标是C(5，0).   将点C的坐标是C(5，0)代入y=-x+m，得m=5   
 ∴直线CD的函数表达式为y=-x十5，
设K点的坐标为( t, 0),则H点的坐标为.(t，-t+5)，G点的坐标为 (t，t²+2t-3).     
∵点K为线段AB上一动点.
∴-3≤t≤1
∴HG= (-t+ 5)-(t²+ 2t-3)=-t²-3t+8=-（t+）²+
∵-3≤-≤1，∴当t=-时，线段HG长度有最大值
(3)∵点F是线段BC的中点，点B(1，0)，点C(5，0)，
∴点F的坐标为F(3，0).
∵直线l过点F且与y轴平行，
∴直线l的函数表达式为x=3
∵点M在直线l上，点N在抛物线上，
∴设点M的坐标为M(3，m). 点N的坐标为N(n,n²+2n-3)
∵点A（-3,0），点C（5,0），
∴AC=8；
 ①若线段AC是以点A，C，M，N为顶点的四边形的边，
则须MN//AC，且MN=AC=8
当点N在点M的左侧时，MN=3-n，
∴3-n=8，解得：n=-5，
∴N点的坐标为N(-5，12).
当点N在点M的左侧时，MN=n-3
∴n-3=8，解得：n= 11，
∴N点的坐标为，N(11，140).
②若线段AC是以点A，C，M，N为顶点的平行四边形的对角线，
由“点C与点A关于点B中心对称”知：点M与点N关于点B中心对称，
取点F关于点B对称点P，则点P的坐标为P(-1，0). 过点P作NP⊥x釉，交抛物线于点N
将 x=-1代入y=x²+2x-3，得：y=-4，
过点N，B作直线NB交直线l于点M
在△BPN和△BFM中
∵
∴△BPN≌△BFM，
∴NB = MB，   
 ∴四边形ANCM为平行四边形，
∴坐标为(-1，-4)的点N符合条件，
∴当点N的坐标为(-5，12)，(11，140)，(1，4)时，以点 A，C，M，N为顶点的四边是平行四边形。