Question

已知方程x²-3x+1=0的两根α、β也是方程x⁴-px²+q=0的根，求p、q的值．

Answer 1

解：∵方程x²-3x+1=0，
∴x²=3x-1，
∴x⁴=（3x-1）²=9x²-6x+1，
代入方程x⁴-px²+q=0得：9x²-6x+1-px²+q=0，
整理为：（9-p）x²-6x+（q+1）=0，
∵方程（9-p）x²-6x+（q+1）=0与方程x²-3x+1=0是同解方程，
则==，
解得p=7，q=1．
分析：方程x²-3x+1=0，∴x²=3x-1，则x⁴=（3x-1）²=9x²-6x+1代入方程x⁴-px²+q=0，再根据同解方程次数相等的项的系数对应成比例即可求出p，q的值．
点评：本题考查了根与系数的关系及同解方程，难度适中，关键是根据同解方程次数相等的项系数对应成比例进行解答．