Question

求证：梯形对角线中点的连线平行于两底，并且等于两底差的一半.

Answer 1

解：已知：梯形ABCD 中，AD//BC，BC>AD，E、F分别为对角线BD、AC的中点，求证：EF//AD//BC，且EF= (BC-AD).
证明：延长EF交CD与N，延长FE交AB于M，连接DF并延长交BC于G.
∵AD//BC,
∴∠DAF=∠FCG，∠ADF=∠CGF.
又AF= CF,
∴△ADF≌△CGF.
∴DF=GF.
∵E是BD的中点.
∴EF为△DBG的中位线.
∴EF//BG，又AD//BC
∴EF//AD//BC.
∴E、F分别是BD、AC的中点，且EF//AD//BC.
∴MN为梯形ABCD的中位线，MN=(AD+BC).
又ME=AD= FN.
∴EF= MN-MB-FN=(AD+BC)-AD-AD= (BC-AD).
∴梯形对角线中点的连线平行于两底. 并且等于两底差的一半。