Question

如图，Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点E在线段AB上，CF⊥CE，CE=CF，EF交AC于G，连接AF．
（1）填空：线段BE、AF的数量关系为

 

，位置关系为

 

；
（2）当

BE

AE

=

1

2

时，求证：

EG

FG

=2；
（3）若当

BE

AE

=n时，

EG

GF

=

2

，请直接写出n的值．

Answer 1

分析：（1）在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CF⊥CE，可推出∠ECB=∠ACF，且CE=CF，由此可得△ECB≌△FCA，即得BE=AF，∠CBE=∠CAF，且∠CBE+∠CAB=90°，故∠CAF+∠CAB=90°，即BE⊥AF；
（2）作GM⊥AB于M，GN⊥AF于N，可得出GM=GN，从而有S_△AEG=2S_△AFG，即证

EG

FG

=2；
（3）根据（2）的推理过程，知S_△AEG=nS_△AFG，则

BE

AE

= 

EG

FG

，即可求得n的值．

解答：（1）解：∵∠ACB=90°，CF⊥CE，
∴∠ECB=∠ACF．
又AC=BC，CE=CF，
∴△ECB≌△FCA．
∴BE=AF，∠CBE=∠CAF，
又∠CBE+∠CAB=90°，
∴∠CAF+∠CAB=90°，
即BE=AF，BE⊥AF．

（2）证明：作GM⊥AB于M，GN⊥AF于N，
∵△ACF可由△BCE绕点C顺时针方向旋转90°而得到，
∴AF=BE，∠CAF=∠CBE=45°．
∴AE=2AF，∠CAF=∠CAB，
∴GM=GN．
∴S_△AEG=2S_△AFG，
∴EG=2GF，
∴

EG

FG

=2．

（3）解：由（2），得
当

BE

AE

=n时，S_△AEG=nS_△AFG，
则

BE

AE

= 

EG

FG

，
∴当n=

2

2

时，

EG

GF

=

2

．

点评：此题综合运用了全等三角形的判定和性质、旋转的性质，能够从特殊推广到一般发现规律．