Question

如图，在四边形ABCD中，已知∠BAD=60°，∠ABC=90°，∠BCD=120°，对角线AC，BD交于点S，且DS=2SB，P为AC的中点．
求证：（1）∠PBD=30°；（2）AD=DC．

Answer 1

证明：（1）由已知得∠ADC=90°，
从而A，B，C，D四点共圆，AC为直径，P为该圆的圆心，
作PM⊥BD于点M，知M为BD的中点，
所以∠BPM==∠BAD=60°，
从而∠PBM=30°；

（2）作SN⊥BP于点N，则．
又，
∴，
∴Rt△PMS≌Rt△PNS，
∴∠MPS=∠NPS=30°，
又PA=PB，所以，
故∠DAC=45°=∠DCA，
所以AD=DC．
分析：（1）连接PD，四边形ABCD中，已知∠BAD=60°，∠ABC=90°，∠BCD=120°，根据内角和定理可求∠ADC=90°，则A、B、C、D四点共圆，对角线AC为直径，P点为圆心，△PBD为等腰三角形，根据圆周角定理∠BPD=2∠BAD，可证∠PBD=30°；
（2）作SN⊥BP于点N，由（1）的结论可知SN=SB，利用线段之间个关系证明MS=SB=SN，从而判断Rt△PMS≌Rt△PNS，得出∠MPS=∠NPS=30°，由圆周角定理得∠PAB=∠NPS，则∠DAC=∠BAD-∠PAB=45°，又AC为直径，故AD=DC．
点评：本题考查了四点共圆，三角形全等的判定与性质．关键是判断△ABC，△ADC，公共斜边AC，利用圆周角定理求相关的角．