Question

如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为(6，0)，(6，8)．动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动．其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点N作NP⊥BC，交AC于P，连结MP．已知动点运动了x秒． (1) P点的坐标为(________，________)；(用含x的代数式表示) (2) 试求⊿MPA面积的最大值，并求此时x的值． (3) 请你探索：当x为何值时，⊿MPA是一个等腰三角形？你发现了几种情况？写出你的研究成果．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	(6－x，x)
(2)	设⊿MPA的面积为S，在⊿MPA中，MA＝6－x，MA边上的高为x，其中，0≤x≤6．∴S＝(6－x)×x＝(－x2＋6x)＝－(x－3)2＋6 　　∴S的最大值为6，此时x＝3．
(3)	延长NP交x轴于Q，则有PQ⊥OA 　　①若MP＝PA，∵PQ⊥MA，∴MQ＝QA＝x．∴3x＝6，∴x＝2； 　　②若MP＝MA，则MQ＝6－2x，PQ＝x，PM＝MA＝6－x 　　在Rt⊿PMQ中，∵PM2＝MQ2＋PQ2，∴(6－x)2＝(6－2x)2＋(x)2，∴x＝ 　　③若PA＝AM，∵PA＝x，AM＝6－x，∴x＝6－x，∴x＝ 　　综上所述，x＝2，或x＝，或x＝．