Question

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点E是弧CB的中点，EF⊥AC于F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）连接CE、AE、CO，AE交CO于N，若CE=6，AE=8，求的值．

Answer 1

（1）证明：如图1，连接OE．
∵点E是弧CB的中点，
∴∠CAE=∠EAO=∠OEA，
∴OE∥AC．
又∵EF⊥AC于F，
∴OE⊥EF．
又∵OE是⊙O的半径，
∴EF是圆点O的切线；

（2）如图2，连接BE．则BE=CE=6，∠AEB=90°，
又∵AE=8，
∴AB=10．
方法一：∵△FAE∽△EAB，
∴AE²=AF•AB，
∴AF=6.4；
作OM⊥AF于M，则四边形MOEF是正方形，
∴AM=AF-OE=1.4，
∴AC=2AM=2.8，
∴===．

方法二：如图1，连接BC交OE于H，则BC∥EF，
OE⊥BC，则5²-OH²=6²-（5-OH）²=BH²，
∴OH=1.4，
∴===．
分析：（1）连接OE．欲证EF是⊙O的切线，只需证明EF⊥OE即可；
（2）如图2，连接BE．在直角△AEB中根据勾股定理求得AB=10．
方法一：由相似三角形（△FAE∽△EAB）对应边成比例求得AF=6.4；然后作OM⊥AF于M构造正方形MOEF，可以利用正方形的性质和图形中相关线段间的数量关系来求的值；
方法二：如图1，连接BC交OE于H，构造矩形FCHE．由矩形的性质、勾股定理以及图形中相关线段的数量关系来求的值．
点评：本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理以及相似三角形的判定与性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．