Question

在台球桌矩形，ABCD上，放有两个球P和Q，恰有∠PAB和∠QAD相等．如果打击球P使它撞在AB的M点反弹后撞到球Q，其路线记为P→M→Q；如果打击球 Q，使它撞在AD的N点反弹后撞到球P，其路线记为Q→N→P．证明：P→M→Q与Q→N→P的路线长相等．

Answer 1

证明：如图，台球P撞AB于M反弹打到Q，满足∠PMB=∠QMA，即对P的路线是作P关于BA的对称点P₁，连接P₁Q交 BA于 M点，则P→M→Q为球P的路线，
再作Q关于AD的对称点Q₁连接PQ₁交AD于N点，则Q→N→P为球Q的路线，
由对称性，知P₁A=PA，Q₁A=QA，
∠3=∠1=∠2=∠4，
PM+MQ=P₁M+MQ=P₁Q，
QN+NP=Q₁N+NP=Q₁P．
因此，要证P→M→Q与Q→N→P的路线长相等，即证明PM+MQ=QN+NP，也就是要证P₁Q=Q₁P，
∵∠P₁AQ=∠3+∠BAQ=∠2+∠BAQ=90°，
∠PAQ₁=∠PAD+∠4=∠PAD+∠1=90°，
∴∠P₁AQ=∠PAQ₁，
在△P₁AQ和△PAQ₁中，，
∴△P₁AQ≌△PAQ₁（SAS），
∴P₁Q=Q₁P，
所以P→M→Q与Q→N→P的路线长相等．
分析：作点P关于AB的对称点P₁，连接P₁Q交AB于点M，连接PM，作点Q关于AD的对称点Q₁，连接PQ₁交AD于点N，连接QN，根据轴对称性可知，要证P→M→Q与Q→N→P的路线长相等，即证明PM+MQ=QN+NP，也就是要证P₁Q=Q₁P，由对称性可得P₁A=PA，Q₁A=QA，再证明∠P₁AQ=∠PAQ₁，然后利用“边角边”证明△P₁AQ和△PAQ₁全等，根据全等三角形对应边相等即可证明．
点评：本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，根据轴对称的性质作点P、Q的对称点，找出表示两条路线的长度的线段是解题的关键．