Question

已知：如图所示，A、K为圆O上的两点，直线FN⊥MA，垂足为N，FN与圆O相切于点F，∠AOK=2∠MAK．
（1）求证：MN是圆O的切线；
（2）若点B为圆O上一动点，BO的延长线交圆O于点C，交NF于点D，连接AC并延长交NF于点E．当FD=2ED时，求∠AEN的余切值．

Answer 1

（1）证明：∵OA=OK，
∴∠3=∠AKO．
∵∠2+∠3+∠AKO=180°，∠AOK=2∠MAK，
∴∠MAK+∠OAK=90°；
∴MN是圆O的切线．

（2）解：∵MN是圆O的切线，
∴∠1=∠B，
∴∠4=∠2．
又∵∠2=∠3，
∴∠4=∠3，
∴DC=DE．
∵NF切圆O于F，
∴∠OFN=90°，
又∵∠NAO=90°，
∴四边形AOFN是矩形．
∵OA=OF，
∴矩形AOFN是正方形，
∴AN=NF=OF．
∵NF切圆O于F，
∴FD²=DC•DB．
∵FD=2ED，
设ED=x，则CD=ED=x，
∴（2x）²=x（x+2r），
解得x=r．
在△AEN中，∠ANE=90°，
cot∠AEN=，
cot∠AEN==3，
同理：x=r．
在△AEN中，∠ANE=90°．
cot∠AEN=，
∴∠AEN的余切值为3或．
分析：（1）要证MN是圆O的切线，只要证得∠OAM=90°即可；
（2）要求它的余切值，需要求得EN：AN的值，根据切割线定理和已知条件找到线段之间的关系，从而根据锐角三角函数的概念求解．
点评：此题综合运用了切线的判定和性质、切割线定理以及锐角三角函数的概念．