Question

已知关于x的一元二次方程x²+2（k-1）x+k²-1=0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由；
（3）若此方程的两个实数根的平方和为30，求实数k．

Answer 1

解：（1）由题意得：△=[2（k-1）]²-4×1×（k²-1）＞0，
解得：k＜1，
故实数k的取值范围为k＜1．

（2）0可能是方程的一个根，
把x=0代入原方程中，k²-1=0，
∴k=±1，
∵k＜1，
∴k=-1，
此时方程x²-4x=0，
解得x₁=0，x₂=4，
故它的另一个根是4．

（3）设此方程的两个实数根为x₁，x₂
则x₁+x₂=-2（k-1），x₁•x₂=k²-1，
∵x₁²+x₂²=30，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=30，
∴[-2（k-1）]²-2（k²-1）=30，
整理得k²-4k-12=0，
解得：k₁=-2，k₂=6，
∵k＜1，
∴k=-2．
分析：（1）根据题意可得△＞0，再代入相应数值解不等式即可；
（2）把x=0代入原方程中得k²-1=0，解出k的值，再把k的值代入x²+2（k-1）x+k²-1=0，解方程即可；
（3）设此方程的两个实数根为x₁，x₂，根据根与系数的关系可得x₁+x₂=-2（k-1），x₁•x₂=k²-1，根据“方程的两个实数根的平方和为30”可得x₁²+x₂²=30，整理后可得[-2（k-1）]²-2（k²-1）=30，再解出k的值．
点评：此题主要考查了根的判别式，一元二次方程的解，以及根与系数的关系，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．
以及根与系数的关系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=，x₁x₂=．