Question

已知直角梯形OABC在如图所示的平面直角坐标系中，AB∥OC，AB=10，OC=22，BC=15，动点M从A点出发，以每秒一个单位长度的速度沿AB向点B运动，同时动点N从C点出发，以每秒2个单位长度的速度沿CO向O点运动，当其中一个动点运动到终点时，两个动点都停止运动。
（1）求B点坐标；
（2）设运动时间为t秒；
①当t为何值时，四边形OAMN的面积是梯形OABC面积的一半；
②当t为何值时，四边形OAMN的面积最小，并求出最小面积；
③若另有一动点P，在点M、N运动的同时，也从点A出发沿AO运动，在②的条件下，PM+PN的长度也刚好最小，求动点P的速度。

Answer 1

解：（1）作BD⊥OC于D，则四边形OABD是矩形， ∴OD=AB=10， ∴CD=OC-OD=12， ∴OA=BD==9， ∴B（10，9）； （2）①由题意知：AM=t，ON=OC-CN=22-2t， ∵四边形OAMN的面积是梯形OABC面积的一半， ∴， ∴t=6； ②设四边形OAMN的面积为S，则， ∵0≤t≤10，且s随t的增大面减小， ∴当t=10时，s最小，最小面积为54； ③如备用图，取N点关于y轴的对称点N′，连结MN′交AO于点P， 此时PM+PN=PM+PN′=MN长度最小。 当t=10时，AM=t=10=AB，ON=22-2t=2， ∴M（10，9），N（2，0）， ∴N′（-2，0）， 设直线MN′的函数关系式为y=kx+b， 则，解得， ∴P（0，）， ∴AP=OA-OP=， ∴动点P的速度为个单位长度/ 秒。