Question

13．已知直线y=-2x+2分别与x轴，y轴交于点C，B，并且与某一反比例函数y=$\frac{m}{x}$在第二象限交于点A（-1，a），过点B作直线AC的垂线交x轴于点E，交另一双曲线y=$\frac{n}{x}$于点D（b，-2）．
（1）求m，n的值；
（2）若点F在y轴上，并且以点B，D，F为顶点的三角形与△ACE相似，求出点F的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A点坐标代入直线AB解析式可求得a的值，代入反比例函数y=$\frac{m}{x}$解析式可求得m的值；由BD⊥AC，可证得△BOE∽△COB，可求得OE的长，则可求得E点坐标，利用待定系数法可求得BD的解析式，则可求得D点坐标，代入反比例函数y=$\frac{n}{x}$解析式可求得n的值；
（2）设F（0，t），由（1）可知∠DBO=∠ACE，由相似三角形的性质可得$\frac{DB}{AC}$=$\frac{FB}{EC}$或$\frac{DB}{EC}$=$\frac{FB}{AC}$可得到t的方程，可求得t的值，可求得F点的坐标．

解答 解：
（1）∵点A在直线y=-2x+2上，
∴a=-2×（-1）+2=4，
∴A（-1，4），
∵点A在反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象上，
∴m=-1×4=-4；
在y=-2x+2中，令x=0可得y=2，令y=0可求得x=1，
∴B（0，2），C（1，0），
∴OB=2，OC=1，
∵BD⊥AC，
∴∠EBO+∠OBC=∠OBC+∠BCO=90°，
∴∠EBO=∠BCO，且∠BOE=∠BOC=90°，
∴△BOE∽△COB，
∴$\frac{BO}{EO}$=$\frac{CO}{BO}$，即$\frac{2}{EO}$=$\frac{1}{2}$，解得EO=4，
∴E（-4，0），
可设直线BE解析式为y=kx+2，
∴0=-4k+2，解得k=$\frac{1}{2}$，
∴直线BE的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+2，
∵点D在直线BE上，
∴-2=$\frac{1}{2}$b+2，解得b=-8，
∴D（-8，-2），
∵点D在反比例函数y=$\frac{n}{x}$上，
∴n=-8×（-2）=16；

（2）设F（0，t），
∵∠EBO=∠ACE，
∴点F在点B的下方，
∴BF=2-t，
∵A（-1，4），D（-8，-2），E（-4，0），C（1，0）
∴AC=$\sqrt{（-1-1）^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，EC=1-（-4）=5，BD=$\sqrt{（-8）^{2}+（-2-2）^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∵△DFB和△ACE相似，
∴有$\frac{DB}{AC}$=$\frac{FB}{EC}$或$\frac{DB}{EC}$=$\frac{FB}{AC}$两种情况，
①当$\frac{DB}{AC}$=$\frac{FB}{EC}$时，则$\frac{4\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{2-t}{5}$，解得t=-8，此时F点坐标为（0，-8）；
②当$\frac{DB}{EC}$=$\frac{FB}{AC}$时，则$\frac{4\sqrt{5}}{5}$=$\frac{2-t}{2\sqrt{5}}$，解得t=-6，此时F点坐标为（0，-6）；
综上可知F点的坐标为（0，-8）或（0，-6）．

点评 本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、相似三角形的判定和性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中求得A、D的坐标是解题的关键，在（2）中用F点的坐标表示出BF的长，利用相似三角形的性质得到关于t的方程是解题的关键，注意分两种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．