Question

如图为桥洞的形状，其正视图是由圆弧和矩形ABCD构成．O点为所在⊙O的圆心，点O又恰好在AB为水面处．若桥洞跨度CD为8米，拱高（OE⊥弦CD于点F ）EF为2米．
（1）求所在⊙O的半径DO；
（2）若河里行驶来一艘正视图为矩形的船，其宽6米，露出水面AB的高度为h米，求船能通过桥洞时的最大高度h．

Answer 1

解：（1）∵OE⊥弦CD于点F，CD为8米，EF为2米，
∴EO垂直平分CD，DF=4m，FO=DO-2（m），
在Rt△DFO中，DO²=FO²+DF²，
则DO²=（DO-2）²+4²，
解得：DO=5；
答：所在⊙O的半径DO为5m；

（2）如图所示：假设矩形的船为矩形MQRN，船沿中点O为中心通过，
连接MO，
∵MN=6m，∴MY=YN=3m，
在Rt△MOY中，MO²=YO²+NY²，
则5²=YO²+3²，
解得：YO=4，
答：船能通过桥洞时的最大高度为4m．
分析：（1）利用垂径定理得出EO垂直平分CD，再利用勾股定理求出DO的长即可；
（2）利用垂径定理得出EO垂直平分MN，再利用勾股定理求出YO的长即可．
点评：此题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，利用数形结合以及勾股定理求出是解题关键．