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    （2013•乐山）阅读下列材料：
    如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，点M，N分别在边AB，DC上，且MN∥AD，记AD=a，BC=b．若
    AM
    MB
    =
    m
    n
    ，则有结论：MN=
    bm+an
    m+n
    ．
    请根据以上结论，解答下列问题：
    如图2，图3，BE，CF是△ABC的两条角平分线，过EF上一点P分别作△ABC三边的垂线段PP1，PP2，PP3，交BC于点P1，交AB于点P2，交AC于点P3．
    （1）若点P为线段EF的中点．求证：PP1=PP2+PP3；
    （2）若点P为线段EF上的任意位置时，试探究PP1，PP2，PP3的数量关系，并给出证明．
    分析：（1）如答图1所示，作辅助线，由角平分线性质可知ER=ES，FM=FN；再由中位线性质得到FM=2PP3，ER=2PP2；最后，在梯形FMRE中，援引题设结论，列出关系式，化简得到：PP1=PP2+PP3；
    （2）如答图2所示，作辅助线，由角平分线性质可知ER=ES，FM=FN；再由相似三角形比例线段关系得到：ER=
    m+n
    m
    PP2；FM=
    m+n
    n
    PP3；最后，在梯形FMRE中，援引题设结论，列出关系式，化简得到：PP1=PP2+PP3．
    解答：（1）证明：如答图1所示，
    BE为角平分线，过点E作ER⊥BC于点R，ES⊥AB于点S，则有ER=ES；
    CF为角平分线，过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥AC于点N，则有FM=FN．

    点P为中点，由中位线的性质可知：ES=2PP2，FN=2PP3．
    ∴FM=2PP3，ER=2PP2．
    在梯形FMRE中，FM∥PP1∥ER，
    FP
    PE
    =
    1
    1
    ，
    根据题设结论可知：
    PP1=
    ER×1+FM×1
    1+1
    =
    ER+FM
    2
    =
    2PP2+2PP3
    2
    =PP2+PP3．
    ∴PP1=PP2+PP3．

    （2）探究结论：PP1=PP2+PP3．
    证明：如答图2所示，
    BE为角平分线，过点E作ER⊥BC于点R，ES⊥AB于点S，则有ER=ES；
    CF为角平分线，过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥AC于点N，则有FM=FN．

    点P为EF上任意一点，不妨设
    PF
    PE
    =
    m
    n
    ，则
    PF
    EF
    =
    m
    m+n
    ，
    PE
    EF
    =
    n
    m+n
    ．
    ∵PP2∥ES，∴
    PP2
    ES
    =
    PF
    EF
    =
    m
    m+n
    ，∴ES=
    m+n
    m
    PP2；
    ∵PP3∥FN，∴
    PP3
    FN
    =
    PE
    EF
    =
    n
    m+n
    ，∴FN=
    m+n
    n
    PP3．
    ∴ER=
    m+n
    m
    PP2；FM=
    m+n
    n
    PP3．
    在梯形FMRE中，FM∥PP1∥ER，
    PF
    PE
    =
    m
    n
    ，
    根据题设结论可知：
    PP1=
    mER+nFM
    m+n
    =
    m•
    m+n
    m
    PP2+n•
    m+n
    n
    PP3
    m+n
    =
    (m+n)PP2+(m+n)PP3
    m+n
    =PP2+PP3．
    ∴PP1=PP2+PP3．
    点评：本题是几何综合题，考查了相似三角形的判定与性质、角平分线的性质．本题两问之间体现了由特殊到一般的数学思想，解题思路类似，并且同学们可仔细领会．
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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    22、阅读下题及证明过程：
    已知：如图，在△ABC中，点D是BC上的一点，点E是AD上的一点，且EB=EC，∠ABE=∠ACE
    求证：∠BAE=∠CAE
    证明：在△AEB和△AEC中
    EB=EC（　　）
    ∠ABE=∠ACE（　　）
    AE=AE（　　）
    ∴△AEB≌△AEC（　　）
    ∴∠BAE=∠CAE（　　）
    上面的证明过程是否正确？若认为正确，请在各步后面的括号内填入依据：若认为不正确，请给予正确的证明．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•张家界）阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值．
    解：设S=1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘以2得：
       2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014
       将下式减去上式得2S-S=22014-1
       即S=22014-1
       即1+2+22+23+24+…+22013=22014-1
    请你仿照此法计算：
    （1）1+2+22+23+24+…+210
    （2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）．

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    （2013•盐城）阅读材料
    如图①，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，且点D在AB边上，AB、EF的中点均为O，连结BF、CD、CO，显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明△BOF≌△COD，则BF=CD．
    解决问题
    （1）将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论；
    （2）如图③，若△ABC与△DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O，上述（1）中的结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；
    （3）如图④，若△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为0，且顶角∠ACB=∠EDF=α，请直接写出
    BFCD
    的值（用含α的式子表示出来）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•乐山模拟）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，-6），⊙C的圆心坐标为（0，7），半径为5．若P是⊙C上的一个动点，线段PB与x轴交于点D，则△ABD面积的最大值是（　　）

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