Question

已知梯形ABCD中，AB∥CD，BD⊥AC于E，AD=BC，AC=AB，DF⊥AB于F，AC、DF相交于DF的中点O．
求证：AB+CD=2BE．

Answer 1

证明：过D作DM∥AC交BA的延长线于M．
∵梯形ABCD中，AD=BC，
∴BD=AC．
又∵CD∥AM，DM∥AC，
∴四边形CDMA为平行四边形．
∴DM=AC，CD=AM．
∵MD∥AC，又AC⊥BD，且AC=BD，
∴DM⊥BD，DM=BD，
∴△DMB为等腰直角三角形．
又∵DF⊥BM，
∴DF=BF．
∴BM=2DF=2BF
∴AM+AB=2BF．
∵CD=AM，
∴AB+CD=2BF．
∵AC=BD=AB，
∴在△BEA和△BFD中，△BEA≌△BFD．
∴BE=BF．
∵AB+CD=2BF，
∴AB+CD=2BE．
分析：过D作DM∥AC交BA的延长线于M，则四边形CDMA为平行四边形，得DM=AC，CD=AM，从而得到DMB为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可以证明AM+AB=2BF；再结合全等三角形的性质即可证明．
点评：此题综合运用了等腰梯形的性质、全等三角形的判定及性质、平行四边形的判定及性质以及直角三角形的性质．