Question

如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知OA=3，OC=2．在OA上取一点D，将△BDA沿BD对折，使点A落在BC边上的点F处．
（1）写出点B、F的坐标；
（2）求以点F为顶点，且经过点A的抛物线的解析式；
（3）在第（2）题的抛物线上是否存在点P使得四边形PDBF为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCO是矩形，
∴AB=OC，BC=OA，
∴OA=3，OC=2，
∴点B的坐标是（3，2），
根据折叠可得DA=DF，
∴DF=CO=2，
∴AD=2，
∴DO=3-2=1，
∴F（1，2），
（2）设点F为顶点，且经过点A的抛物线的解析式为y=a（x-h）²+k，
∵F（1，2），
∴y=a（x-1）²+2，
∵OA=3，
∴A（3，0），
∴0=a（3-1）²+2，
∴a=-，
∴y=-（x-1）²+2；
（3）在第（2）题的抛物线上存在点P使得四边形PDBF为平行四边形，
过F作FP∥BD交x轴于P，若四边形PDBF为平行四边形则BF=DP，
∵AB=BF=2，
∴BF=DP=2，
∵AD=DF=OC，OA=3，
∴OD=1，
∴OP=1，
∴P点的坐标（-1，0），
把（-1，0）代入解析式y=-（x-1）²+2得0=-×4+2，
∴点P在抛物线上，
∴在第（2）题的抛物线上存在点P使得四边形PDBF为平行四边形，点P的坐标是（-1，0）．
分析：（1）由OA=3，OC=2可求出B的坐标，由折叠的性质可知△BDA≌△BDF，所以AB=BF，根据折叠可得DA=FD=CO，进而得到DF和DA的长，然后即可算出DO的长，进而得到F点坐标；
（2）设点F为顶点，且经过点A的抛物线的解析式为y=a（x-h）²+k，由（1）可知F（1，2），所以h=1，k=2，再把A（3，0）代入求出a的值即可；
（3）在第（2）题的抛物线上存在点P使得四边形PDBF为平行四边形，过F作FP∥BD交x轴于P，若四边形PDBF为平行四边形则BF=DP，进而求出P的坐标，把P的坐标代入抛物线的解析式即可验证P是否在抛物线上．
点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数以及矩形的性质、平行四边形的判定定理，难度较大．