Question

如图，AD是△ABC的角平分线，H，G分别在AC，AB边上，且HD=BD。
（1）求证：∠B与∠AHD互补；
（2）若∠B+2∠DGA=180°，试探究线段AG与线段AH，HD之间满足的等量关系，并加以证明。

Answer 1

解：（1）证明：在AB上取一点M，使得AM = AH，连接DM。
∵∠CAD=∠BAD，AD = AD
∴△AHD≌△AMD
∴HD = MD，∠AHD =∠AMD
∵HD = DB
∴DB = MD
∴∠DMB =∠B
∵∠AMD＋∠DMB = 180°
∴∠AHD＋∠B = 180°
即∠B与∠AHD互补。
（2）由（1）∠AHD =∠AMD，HD = MD∠AHD＋∠B=180 °
∵∠B+2∠DGA=180°
∴∠AHD=2∠DGA
∴∠AHD=2∠DGM
∵∠AMD=∠DGM+∠GDM
∴2∠DGM=∠DGM+∠GDM
∴∠DGM=∠GDM
∴MD=MG
∴HD=MG
∴AG=AM+MG
∴AG=AH+HD。