Question

如图，在四边形AOCB中，A（0，2），B（，n）C（，0），其中△ABO是等边三角形．

（1）如图（a），若将四边形AOCB沿直线EF折叠，使点A与点C重合．
①求点E坐标；
②求△BCF的面积；
（2）如图（b），若将四边形AOCB沿直线EF折叠，使EF∥OB，设点A对折后所对应的点为A′，△A′EF与四边形EOBF的重叠面积为S，设点E的坐标为（0，t）（t＞0），求S与t的函数关系式并写出自变量的取值范围．

Answer 1

解：（1）①设点E的坐标为（0，y），
∵A（0，2），B（，n），C（，0），
∴BC⊥x轴，OA=2，
∵△ABO为等边三角形，
∴∠OBC=30°，OA=OB=AB=2，
∴n=1，
由对折可得AE=EC=2-y，
在Rt△OCE中，y²+3=（2-y）²，
解得：y=，
则E坐标为（0，）；
②作FM⊥CB于点M，设MB=x，
∵∠MBF=180°-120°=60°，
在Rt△MBF中，FB=2x，FM=x，
在Rt△MCF中，根据勾股定理得：（2-2x）²=（x+1）²+（x）²，
解得：x=，
则S_△BCF=BC•FM=；

（2）∵EF∥OB，
∴△A′EF为等边三角形，
当点A′落在四边形EOBF内或BC上时，如图（b）所示，
得S=（2-t）²（1≤x＜2）；
当点A′落在四边形EOBF外时，如图（C）所示，
得S=（2-t）²-（2-2t）²=-t²+t（0＜t＜1）．
分析：（1）①设点E坐标为（0，y），根据A的坐标得到OA的长，由B与C的横坐标相同得到BC垂直于x轴，再由三角形ABO为等边三角形，得到OA=OB=AB=2，且求出∠OBC为30度，进而求出n的值，由折叠的性质得到AE=EC=2-y，在直角三角形OCE中，利用勾股定理列出关于y的方程，求出方程的解得到y的值，即可确定出E坐标；
②过F作FM垂直于CB，设MB=x，求出∠MBF为60度，在直角三角形MBF中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半表示出FB，再利用勾股定理表示出FM，在直角三角形MCF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可求出三角形BCF的面积；
（2）分两种情况考虑：当点A′落在四边形EOBF内或BC上时，如图（b）所示，重合部分的面积即为三角形AEF的面积，表示出S与t的关系式即可；当点A′落在四边形EOBF外时，如图（C）所示，重合部分面积由两等边三角形面积之差，表示出S与t关系式即可．
点评：此题考查了翻折变换（折叠问题），坐标与图形性质，等边三角形的性质，以及勾股定理，是一道综合性较强的试题．