Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B、C的坐标分别为（-1，0），（5，0），（0，2）．若点P从A点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向B点移动，连接PC并延长到点E，使CE=PC，将线段PE绕点P顺时针旋转90°得到线段PF，连接FB．若点P在移动的过程中，使△PBF成为直角三角形，则点F的坐标是

（5，2），（

5 +7

2

，

5

-1）

．

Answer 1

分析：当P位于线段OA上时，显然△PFB不可能是直角三角形；由于∠BPF＜∠CPF=90°，所以P不可能是直角顶点，可分两种情况进行讨论：
①F为直角顶点，过F作FD⊥x轴于D，BP=6-t，DP=2OC=4，在Rt△OCP中，OP=t-1，由勾股定理易求得CP=t²-2t+5，那么PF²=（2CP）²=4（t²-2t+5）；在Rt△PFB中，FD⊥PB，由射影定理可求得PB=PF²÷PD=t²-2t+5，而PB的另一个表达式为：PB=6-t，联立两式可得t²-2t+5=6-t，即t=

5 +1

2

；
②B为直角顶点，那么此时的情况与（2）题类似，△PFB∽△CPO，且相似比为2，那么BP=2OC=4，即OP=OB-BP=1，此时t=2．

解答：解：能；
①若F为直角顶点，过F作FD⊥x轴于D，则BP=6-t，DP=2OC=4，
在Rt△OCP中，OP=t-1，
由勾股定理易求得CP²=t²-2t+5，那
么PF²=（2CP）²=4（t²-2t+5）；
在Rt△PFB中，FD⊥PB，
由射影定理可求得PB=PF²÷PD=t²-2t+5，
而PB的另一个表达式为：PB=6-t，
联立两式可得t²-2t+5=6-t，即t=

5 +1

2

，
P点坐标为（

5 -1

2

，0），
则F点坐标为：（

5 +7

2

，

5

-1）；

②B为直角顶点，那么此时的情况与（2）题类似，△PFB∽△CPO，且相似比为2，
那么BP=2OC=4，即OP=OB-BP=1，此时t=2，
P点坐标为（1，0）．FD=2（t-1）=2，
则F点坐标为（5，2）．
故答案是：（5，2），（

5 +7

2

，

5

-1）．

点评：此题考查了直角三角形的判定、相似三角形的判定和性质等重要知识点；在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．