Question

如图，已知抛物线经过点A（-1，0），B（4，-5），C （0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线CD的解析式为y=x+b，将直线CD沿着y轴方向平移2个单位得直线AN，交x、y轴于点A、N．
①求直线AN的解析式；
②在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以点P为圆心的圆同时与直线AN、y轴相切？若有，求出点P的坐标．

Answer 1

解：（1）∵抛物线经过点A（-1，0），B（4，-5），
C （0，3）．
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式是y=-x²+2x+3；

（2）将点C（0，3）代入y=x+b，
解得b=3，
所以直线AN的解析式y=x+1；

（3）y=-x²+2x+3的对称轴是x=1，
直线y=x+1与对称轴X=1的交点坐标是（1，2），依题意设p（1，y）．
当点p在直线y=x+1的下方（如图2），
证明△MFP是等腰直角三角形后可得EP=FP=FM=1，
所以MP=，所以+y=2，即y=2-，所以P点的坐标是（1，2-）．
当点p在直线y=x+1的上方（如图3），
证明△MFP是等腰直角三角形后可得EP=FP=FM=1，
所以MP=，所以y=2+，所以P点的坐标是（1，2+）．
分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可得出答案；
（2）根据将点C（0，3）代入y=x+b，即可得出一次函数解析式；
（3）根据y=-x²+2x+3的对称轴是X=1，得出直线y=x+1与对称轴X=1的交点坐标是（1，2），再利用等腰直角三角形的性质求出．
点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及求一次函数解析式和等腰直角三角形的性质等知识，利用数形结合进行分类讨论是这部分考查重点同学们应重点掌握．