Question

如图，已知抛物线过点A(0，6)，B(2，0)，C(7，)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若D是抛物线的顶点，E是抛物线的对称轴与直线AC的交点，F与E关于D对称，求证：∠CFE＝∠AFE；

(3)在y轴上是否存在这样的点P，使△AFP与△FDC相似，若有请求出所有和条件的点P的坐标，若没有，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)设抛物线解析式为y＝ax2＋bx＋c，将A、B、C三点坐标代入，列方程组求抛物线解析式； 　　(2)求直线AC的解析式，确定E点坐标，根据对称性求F点坐标，分别求直线AF，CF的解析式，确定两直线与x轴的交点坐标，判断两个交点关于抛物线对称轴对称即可； 　　(3)存在．由∠CFE＝∠AFE＝∠FAP，△AFP与△FDC相似时，顶点A与顶点F对应，根据△AFP∽△FDC，△AFP∽△FCD，两种情况求P点坐标． 　　解答：(1)解：设抛物线解析式为y＝ax2＋bx＋c，将A、B、C三点坐标代入，得 　　， 　　解得， 　　∴抛物线解析式为y＝x2－4x＋6； 　　(2)证明：设直线AC的解析式y＝mx＋n， 　　将A、C两点坐标代入，得，解得，∴y＝－x＋6， 　　∵y＝x2－4x＋6＝(x－4)2－2，∴D(4，－2)，E(4，4)， 　　∵F与E关于D对称，∴F(4，－8)，则直线AF的解析式为y＝－x＋6，CF的解析式为y＝－22， 　　∴直线AF，CF与x轴的交点坐标分别为(，0)，(，0)， 　　∵4－＝－4，∴两个交点关于抛物线对称轴x＝4对称，∴∠CFE＝∠AFE； 　　(3)解：存在．设P(0，d)，则AP＝|6－d|，AF＝＝2， 　　FD＝－2－(－8)＝6，CF＝＝， 　　当△AFP∽△FDC时，＝，即＝，解得d＝或－， 　　当△AFP∽△FCD时，＝，即＝，解得d＝－2或14， 　　∴P点坐标为(0，)或(0，－)或(0，－2)或(0，14)． 　　点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据已知条件求抛物线解析式，根据抛物线的对称性，相似三角形的知识解题．

提示：

考点：二次函数综合题．