Question

求所有有理数r，使得方程rx²+（r+1）x+（r-1）=0的所有根是整数．

Answer 1

分析：对r=0和r≠0进行讨论．r=0时，原方程是关于x的一次方程，可解得x=1；r≠0时，原方程是关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系得到x₁+x₂=-

r+1

r

=-1-

1

r

①，x₁•x₂=

r-1

r

=1-

1

r

②，消r变形得（x₁-1）（x₂-1）=3，利用整数的性质得到

x1=4 x2=2

或

x1=0 x2=-2

，再由②即可求出r．

解答：解：当r=0时，原方程变为：x-1=0，解得x=1；
当r≠0时，原方程是关于x的一元二次方程，设它的两个整数根为x₁，x₂，且x₁≥x₂，
∴x₁+x₂=-

r+1

r

=-1-

1

r

①，x₁•x₂=

r-1

r

=1-

1

r

②，
②-①得，x₁x₂-x₁-x₂=2，
∴（x₁-1）（x₂-1）=3，
∴

x 1-1=3 x2-1=1

或

x1-1=-1 x2-1=-3

，
∴

x1=4 x2=2

或

x1=0 x2=-2

，
∴由②得，r=

1

1-x1x2

=-

1

7

或1．
综上所述，当r=0，-

1

7

，1时，原方程的所有根是整数．

点评：本题考查了一元二次方程整数根的问题：利用根与系数的关系消去未知系数直接得到两整数根的关系，然后利用整数的性质求解．也考查了分类讨论思想的运用．