Question

在△ABC中，∠C=90°，若FO⊥AB于点O，E在BC边上，扇形ODF的弦FE平分∠OFC．
（1）求证：扇形ODF与BC边相切，
（2）若AC=6，BC=8．求扇形ODF的半径．

Answer 1

（1）证明：∵扇形ODF的弦FE平分∠OFC，
∴∠OFE=∠EFC，
∵FO=EO，
∴∠OFE=∠OEF，
∴∠OEF=∠EFC，
∵∠FCE=90°，
∴∠EFC+∠FEC=∠FEC+∠OEF=90°，
∴∠OEC=90°，
∴扇形ODF与BC边相切，；

（2）解：设扇形ODF的半径为rcm，
在Rt△ACB中，AC=6，BC=8，
∴AB=10，
∵扇形ODF与BC相切，切点为E，
∴OE⊥BC
∵∠AOF=∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△AOF∽△ACB
∴△AOF∽△ACB．
∴=，即=，
解得：AO=r，
∵OE∥AC，
∴∠BOE=∠BAC，∠OEB=∠ACB，
∴△BOE∽△BAC，又OB=AB-OA=10-r，
∴=，即=，
解得：r=．
分析：（1）利用角平分线的性质以及等腰三角形的性质得出∠EFC+∠FEC=∠FEC+∠OEF=90°，即可得出答案；
（2）设扇形ODF的半径为r，在直角三角形ABC中，由AC及BC的长，利用勾股定理求出AB的长，再由扇形ODF与BC相切，得到OE垂直于BC，由OF与AB垂直及AC于BC垂直得到两对直角相等，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△AOF与△ACB相似，由相似得比例，将AC，BC及设出的半径r代入，表示出AO的长，又AC垂直于BC，可得出OE与AC平行，根据两直线平行同位角相等可得出两对对应角相等，根据两对对应角相等的两三角形相似可得出△BOE与△ACB相似，根据相似得比例将AB，AC，表示出的OB及OE代入，得到关于r的方程，求出方程的解即可得到半径r的值．
点评：此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，以及平行线的性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．