Question

已知等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，P为斜边AB上一点，Q为直线BC上一点，且PC=PQ，若BQ=2，则AP的长度为________．

Answer 1

3或
分析：根据题意画出图形，求出AB，过P作PM⊥BC于M，求出PM=BM，根据等腰三角形性质求出CM=MQ，根据已知得出关于BM的方程，求出BM、PM长，根据勾股定理求出BP，即可求出答案．
解答：在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC=4，由勾股定理得：AB==4，
过P作PM⊥BC于M，
则∠PMB=90°，
∵△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ABC=45°，
∴∠BPM=45°=∠ABC，
∴PM=BM，
∵PC=PQ，PM⊥BC，
∴CM=MQ，
分为两种情况：
①如图1，Q在线段BC上时，
∵CM=MQ，BC=4，BQ=2，
∴CM=4-BM，MQ=BM-2，
即4-BM=BM-2，
∴BM=3，
在Rt△BMP中，BM=PM=3，由勾股定理得：BP==3，
∴AP=4-3=．
②如图2，Q在CB延长线时时，
∵CM=MQ，
∴4-BM=BM+2，
∴BM=1，
Rt△BMP中，BM=PM=1，由勾股定理得：BP==，
∴AP=4-=3．
故答案为：3或．
点评：本题考查了等腰直角三角形性质，等腰三角形性质，勾股定理的应用，关键是求出BP长，注意有两种情况．