Question

已知，等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，直线l过点C，过点A，B分别作l的垂线，垂足分别为E，F．
（1）观察图（1），你能发现EF、AE、BF三者之间的一种数量关系吗？请你将它写出来；
（2）在图（2）中，上面的关系成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
（3）当直线l绕点C转到什么位置时EF=BF-AE？在图（3）中画出直线l及AE和BF（不必证明）．

Answer 1

解：（1）EF=AE+BF．

（2）成立；
证明：∵∠EAC+∠ACE=90°，∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠EAC=∠FCB，
又∵∠AEC=∠CFB=90°，且AC=BC，
∴△AEC≌△CFB（AAS）．
∴AE=CF，EC=FB．
∴EF=AE+BF．

（3）如右图．
分析：（1）由题中条件可知ABFE是矩形，且AB∥EF，则∠EAC=∠ECA=∠CAB=45°，所以AE=EC；同理可得BF=FC，即可得EF=AE+BF；
（2）由AAS可以确定△AEC≌△CFB（AAS），得到AE=CF，EC=FB，即得
EF=AE+BF．
（3）当l绕点C转到AB之间位置时EF=BF-AE．
点评：本题主要考查直角三角形全等的判定，先根据已知条件或求证的结论确定直角三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．