Question

如图平面直角坐标系中，半径为5的⊙O过点D、H， 且DH⊥x轴，DH=8．
（1）求点H的坐标；

（2）如图，点A为⊙O和x轴负半轴的交点，P为AH上任意一点，连接PD、PH， AM⊥PH交HP的延长线于M，求的值；

（3）如图，设⊙O与x轴正半轴交点为P，点E、F是线段OP上的动点（与点P不重合），连接并延长DE、DF交⊙O于点B、C，直线BC交x轴于点G，若DEF是以EF为底的等腰三角形，当E、F两点在OP上运动时（与点P不重合），试探索：
①∠OGC+∠ DOG是定值；
②∠GBD+∠DOG是定值；哪一个结论正确，说明理由并求出其定值．

Answer 1

解： ⑴ 连接OH  ∵DH⊥x轴 ∴DC=DH==4  根据勾股定理 ∴ OC=3 ∴ H（3，-4） （2）连接AD、AH，作AN⊥PD于N  ∵∠APM+∠APH =∠ADH+∠APH=180° ∴∠APM =∠ADH=∠AHD=∠APN 而AN⊥PD，AM⊥PH ∴AM=AN 又AP=AP， ∴△APM≌△APN （HL） 由垂径定理可得： ∴AD=AE ∴△ADN≌△AHM（HL） ∴PM=PN ，DN=HM ∴PD-PH=2PM ∴ （3）当E、F两点在OP上运动时（与点P不重合） ①∠OGC+∠DOG是定值 理由如下：过点D作于M，并延长DM交于，连接ON，交BC于T 则弧DP=弧PN ∴∠DOG=∠NOG ∵为等腰三角形，， ∴DN平分  ∴弧BN=弧CN，所以 ∴∠OGC+∠NOG=90° ∴∠OGC+∠DOG=90°