Question

已知：如图，△ABC内接于⊙O，点D在半径OB延长线上，∠BCD=∠A=30°．
（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若OC⊥AB，AC=4，求CD的长．

Answer 1

解：（1）直线CD与⊙O相切．理由如下：
如图，∵∠A=30°，
∴∠CAB=2∠A=60°．
又∵OC=OB，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OCB=60°．
又∵∠BCD=30°，
∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=90°，即OC⊥CD．
又∵OC是半径，
∴CD是⊙O的切线，即直线CD与⊙O相切；

（2）如图，∵OC⊥AB，
∴AC=BC=4．
∵由（1）知，△OBC是等边三角形，
∴OC=BC=4．
又由（1）知，∠OCD=90°，∠COD=60°，
∴CD=OC•tan60°=4×=4，即线段CD的长度是4．
分析：（1）根据圆周角定理和等边三角形的判定证得△OBC是等边三角形，则∠OCB=60°，所以由图中相关角与角间的和差关系易求∠OCD=90°，即直线CD与⊙O相切；
（2）如图，由垂径定理、结合（1）中的等边△OBC的性质推知AC=BC=OC=4，则通过解直角△OCD即可求得线段CD的长度．
点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．