Question

(2005常德)如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，⊙O的割线PDE垂直AB于点F，交BC于点G，连结PC，∠BAC=∠BCP，求解于列问题：

(1)求证：CP是⊙O的切线；

(2)当∠ABC=30°，时，求以PD、PE的长为两根的一元二次方程；

(3)若(1)的条件不变，当点C在劣弧AD上运动时，应再具备什么条件可使结论成立？试写出你的猜想，并说明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)连结OC，证∠OCP=90°即可； (2)∵∠B=30°，∴∠A=∠BGF=60°． ∴∠BCP=∠BGF=60°．ΔCPG是正三角形． ∴． ∵PC切⊙O于C，∴． 又∵，∴AB=12， ，∴，∴． ∴以PD、PE为两根的一元二次方程为； (3)当G为BC中点，OG⊥BC，OG∥AC或∠BOG=∠BAC…时，结论成立．要让此结论成立，只要证明ΔBFG∽ΔBGO即可，凡是能使ΔBFG∽ΔBGO的条件都可以．